Исчерпывающее множество событий
Следующие ниже определения не могут не затронуть смысловых особенностей высказываний о событиях. Кроме чисто формальных свойств высказываний, выражающихся в их истинности или ложности, невозможно полностью абстрагироваться от содержательной сути или от контекста, в котором они звучат.
Определение 4. Исчерпывающее множество событий (ИМС) образуют те события, совокупность высказываний, о которых покрывает весь возможный смысловой диапазон проявления объекта высказывания, и каждая допустимая ситуация характеризуется тем, что значение ИСТИНА (1) может принимать единственное высказывание из этой совокупности. (Значение 0 могут принимать все высказывания.)
Рассмотрим примеры.
- В состав редколлегии входят трое: Иванов, Петров, Сидоров. Тогда провозглашение фамилий этих фигурантов определяет исчерпывающее множество событий при выдвижении единственного представителя коллектива в президиум собрания.
- Наказуемое превышение скорости автомобиля делится на диапазоны: до 10%, от 10% до 20%, свыше 20%. Однако если в регламентирующем документе заданы только диапазоны до 10% и от 10% до 100%, то это не будет соответствовать исчерпывающему множеству событий. Такие нестрогие определения возможного диапазона ситуаций являются причиной юридической казуистики, требующей дальнейшего исследования прецедента.
Итак, ИМС, которому соответствует множество высказываний А= {x1, …, xn}, характеризуется тем, что при соответствующих обстоятельствах одно и только одно высказывание из этого множества может принимать значение 1. Это и определяется операцией ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ, которую будем обозначать
 |
 |
Очевидны главные свойства высказываний о событиях из ИМС:
 | (1.12) |
 | (1.13) |
Теорема. Логическая функция от переменных-высказываний о событиях, образующих исчерпывающее множество событий, преобразуется в дизъюнкцию ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ переменных-высказываний о событиях из этого множества.
Доказательство. Для произвольной логической функции, заданной на исчерпывающем множестве высказываний {x1, …, xn}, СДНФ имеет вид
Рассмотрим первую конъюнкцию в СДНФ. Применив (1.12), (1.3) и (1.13), получим
Аналогично, вторая конъюнкция преобразуется
Третья конъюнкция содержит переменные с разными индексами, на что указывает не единственное вхождение единицы в выражение f(0, …, 1, 1). Эта конъюнкция имеет значение 0.
Таким образом, определяющее значение в СДНФ имеют лишь те конъюнкции, где в обозначении функции f указана единственная единица. Единичные значения f в таком случае определяют вхождение соответствующей переменной в результирующее выражение СДНФ.
Теорема доказана.
Чтобы подчеркнуть, что задание ситуаций подчиняется условию операции
|
|
 | (1.14) |
- Каждая переменная, участвующая в формировании этого выражения, входит в него единственный раз.
- Единственность вхождения переменных достигнута на основе применения закона дистрибутивности с учетом свойств высказываний на исчерпывающем множестве событий.
Назовем преобразование логической функции, приведшее к единственности вхождения переменных, дистрибутивным.
